Question

问：设函数f(x)=e^x-2ax,x属于R， （1）当a=1时，求证f(x)>0 （2）当a>1

问：设函数f(x)=e^x-2ax,x属于R，
（1）当a=1时，求证f(x)>0
（2）当a>1/2,求函数f(x)在[0，2a]上的最小值和最大值，

Answer 1

f(x)=e^x-2ax
(1)a=1 f(x)=e^x-2x
f'(x)=e^x-2
驻点x=ln2
f''(x)=e^x>0
∴f(ln2)=2-2ln2>0是极(最)小值
∴f(x)≥f(ln2)>0
(2)x∈[0,2a] a>1/2
f'(x)=e^x-2a
驻点x=ln(2a)
令g(a)=ln(2a)-2a a>1/2
g'(a)=1/a-2
驻点a=1/2
g''(a)=-1/a²<0
g'(1/2)<0为极大值
∴ln(2a)<2a
∴区间包含驻点
最小值=f(ln(2a))=2a-2aln(2a)
f(0)=1
f(2a)=e^2a-2a·2a≥e^½-1>1
∴最大值=e^2a-(2a)²

Answer 2