Question

在四边形ADBC中 已知：AC^2+BD^2=AD^2+BC^2 求证：对角线AB垂直CD

Answer 1

此题用反证法：
过A作AE⊥CD于D，过B作BF⊥CD于F。E、F与O应当是同一点。如果E、F不是同一点，则有
假设E在O左侧，则F在O右侧。
因为AC^2=AE^2+EC^2
AD^2=AE^2+DE^2
DB^2=BF^2+DF^2
BC^2=BF^2+CF^2 分别代入
AC^2+BD^2=AD^2+BC^2，得
EC^2+DF^2=DE^2+CF^2
而DF>DE,EC>CF，所以上式不成立。故与假设矛盾。所以AB⊥CD。

Answer 2

AC²+BD²=AD²+BC²
∴AC²+BD²-AD²-BC²=0
∴(AC-AD)(AC+AD)+(BD+BC)(BD-BC)=0
∴DC(AC+AD)+CD(BD+BC)=0
∴DC(AC+AD-BD-BC)=0
即：DC(AC+CB+AD+DB)=0
即：DC*2AB=0
∴AB*DC=0
∴AB⊥DC

Answer 3

追答

用到余弦定理和三角函数的诱导公式。

追问

哦!谢啦!只是解题过程看不太清楚...