Question

关于微分方程 已知某二阶线性微分方程三解为X ,X+1`,eX+X求其通解及原方程

我想知道为什么 其通解为 Y=C1Y1+C2Y2+(1-C1-C2)Y3 和原方程

Answer 1

通解写成这样的形式是线性方程解的结构决定的。（《高等数学》同济大学第五版p296）
若原方程为y"+P(x)y'+Q(x)y=f(x) ①
则对应的齐次方程y"+P(x)y'+Q(x)y=0 ②
Y1=x,Y2=x+1,Y3=ex+x为原方程的特解，
则可知Y1-Y3，Y2-Y3是对应齐次方程的两个线性无关的特解，
于是②的通解可写出y=C1(Y1-Y3)+C2(Y2-Y3)
所以①的通解可写出Y=C1(Y1-Y3)+C2(Y2-Y3)+Y3
=C1Y1+C2Y2+(1-C1-C2)Y3

原方程的解已经写出，只需用待定系数即可原方程。

Answer 2

Y2-Y3是对应齐次方程的两个线性无关的特解，
于是②的通解可写出y=C1(Y1-Y3)+C2(Y2-Y3)
所以①的通解可写出Y=C1(Y1-Y3)+C2(Y2-Y3)+Y3
=C1Y1+C2Y2+(1-C1-C2)Y3
原方程的解已经写出，只需用待定系数即可原方程通解写成这样的形式是线性方程解的结构决定的。（《高等数学》同济大学第五版p296）
若原方程为y"+P(x)y'+Q(x)y=f(x)
①
则对应的齐次方程y"+P(x)y',Y3=ex+x为原方程的特解，
则可知Y1-Y3;+Q(x)y=0
②
Y1=x,Y2=x+1