Question

这道题是怎样计算的？请写一下步骤。

Answer 1

解：
n≥2时，
an=3ⁿ+2a(n-1)=3·3ⁿ-2·3ⁿ+2a(n-1)=3ⁿ⁺¹+2a(n-1)-2·3ⁿ
an-3ⁿ⁺¹=2a(n-1)-2·3ⁿ=2[a(n-1)-3ⁿ]
(an-3ⁿ⁺¹)/[a(n-1)-3ⁿ]=2，为定值
a1-3²=1-9=-8
数列{an-3ⁿ⁺¹}是以-8为首项，2为公比的等比数列
an-3ⁿ⁺¹=-8·2ⁿ⁻¹=-2ⁿ⁺²
an=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺²
n=1时，a1=3²-2³=1，同样满足表达式
数列{an}的通项公式为an=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺²

追问

那这道题我用左右两边都除以3n的方法可以吗？

追答

除完以后，怎么继续变形呢？你写一下我看。
写了吗？把你的解题思路写一下我看看，看是否可以继续帮你。

追问

这样的。

追答

嗯，这样还没有规律，需要进一步变形。你再继续写，我看一下。

追问

再往下我就没会了，

追答

an/3ⁿ -3=⅔·a(n-1)/3ⁿ⁻¹ -2=⅔[a(n-1)/3ⁿ⁻¹ -3]
(an/3ⁿ -3)/[a(n-1)/3ⁿ⁻¹ -3]=⅔，为定值
a1/3 -3=⅓ -3=-8/3
数列{an/3ⁿ -3}是以-8/3为首项，⅔为公比的等比数列
an/3ⁿ -3=(-8/3)·⅔ⁿ⁻¹
an=[3+(-8/3)·⅔ⁿ⁻¹]·3ⁿ=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺²
结果是一样的。不过，这种解法在思路上是自找麻烦，过程明显复杂很多。

追问

我能再额外问一下这道题的为什么要除以2吗

追答

你这个解题过程是自己写的？是抄的？不需要除以2。
你上面写的是除以2，是错的，后面又变为(n-1)²，又正确了。
1+3+5+...+(2n-3)=(n-1)²

追问

是抄的

追答

那你抄错了，你问的那一步就是你抄错的一步，后面一步又正确了。

这道题按下面的方法解，极为简便：
a(n+1)=an+2n-1=an+n²-(n-1)²
a(n+1)-n²=an-(n-1)²
a1-1²=1-1=0
数列{an-(n-1)²}是各项均为0的常数数列
an-(n-1)²=0
an=(n-1)²

追问

然后是这个样子的吗？

追答

你现在写的是错的，原先抄的后面一步是正确的。

刚没注意，写错了。纠正一下：
a(n+1)=an+2n-1=an+n²-(n-1)²
a(n+1)-n²=an-(n-1)²
a1-0²=1-0=1
数列{an-(n-1)²}是各项均为1的常数数列
an-(n-1)²=1
an=(n-1)²+1=n²-2n+2

运用一下初一学过的完全平方公式，就可以了，累加、累乘的方法，一般只在没有其它好方法时才采用。

追问

是根据a1＝1做的吧？

追答

嗯，是的。刚写错了，改了。

追问

这样？

追答

不是。
a(n+1)-n²=an-(n-1)²
a1-0²=1-0=1
数列{an-(n-1)²}是各项均为1的常数数列。
an-(n-1)²=1
an=(n-1)²+1=n²-2n+1+1=n²-2n+2
数列{an}的通项公式为an=n²-2n+2