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已知函数fx等于1加x分之一加lnx加x分之lnx
2个回答
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解:
f(x)=1+1/x+lnx+lnx/x
(1) 定义域
(0,+∞)
(2) 导数
f'(x)
=(1+1/x+lnx+lnx/x)'
=-1/x²+1/x+(1-lnx)/x²
=(x-lnx)/x²
(3) 零点:
令f(x)=0
∵x>0
∴(x+1)/x>0
∴ 1+lnx=0
∴ x=1/e
(4) 单调性
f'(x)=(x-lnx)/x²
令g(x)=e^x-x(x>0)
g'(x)
=(e^x-x)'
=e^x-1
≥e^0-1
=0
∴ g(x)=e^x-x(x>0)单调递增
∴ g(x)>g(0)=1>0
∴ e^x-x>0
∴ lne^x>lnx
∴ x>lnx
∴ f'(x)>0
∴ f(x)在(0,+∞)单调递增
(5) 函数图像,详见附图
f(x)=1+1/x+lnx+lnx/x
(1) 定义域
(0,+∞)
(2) 导数
f'(x)
=(1+1/x+lnx+lnx/x)'
=-1/x²+1/x+(1-lnx)/x²
=(x-lnx)/x²
(3) 零点:
令f(x)=0
∵x>0
∴(x+1)/x>0
∴ 1+lnx=0
∴ x=1/e
(4) 单调性
f'(x)=(x-lnx)/x²
令g(x)=e^x-x(x>0)
g'(x)
=(e^x-x)'
=e^x-1
≥e^0-1
=0
∴ g(x)=e^x-x(x>0)单调递增
∴ g(x)>g(0)=1>0
∴ e^x-x>0
∴ lne^x>lnx
∴ x>lnx
∴ f'(x)>0
∴ f(x)在(0,+∞)单调递增
(5) 函数图像,详见附图
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