Question

微分方程第四题，求解

Answer 1

解法如下：y″-4y’+4y=2e∧2x 为二阶常系数非齐次线性线性微分方程 ,其中λ=2
其特征方程为：r2-4r+4=0 解得：r1=r2=2
故与原微分方程对应的齐次线性微分方程的通解为：Y=（C1+C2x）e^2x
因为λ=2是特征方程的双根,所以应设y*=ax^2e^2x
则y*′=2axe^2x+2ax^2e^2x
y*″=2ae^2x+8axe^2x+4ax^2e^2x
代入原方程解得a=1/2 因此求的一个特解为：y*= ½x^2e^2x
故所求通解为：y=(C1+C2x)e^2x+ ½x^2e^2x

Answer 2

这是二阶常系数非齐次微分方程，其中f(x)=P(x)e^λx，λ=2。
对应的齐次方程的特征方程为r²-4r+4=0有两重根r=2。对应齐次方程的通解为Y=(C₁+C₂x)e^2x
又λ=2是特征方程的根，所以可设y*=x²(ax²+bx+c)e^2x。
(y*)′=(4ax³+3bx²+2cx)e^2x+x²(ax²+bx+c)·2e^2x=[2ax^4+(4a+2b)x³+(3b+2c)x²+2x]e^2x
(y*)″=[8ax³+3(4a+2b)x²+2(3b+2c)x+2]e^2x+2[2ax^4+(4a+2b)x³+(3b+2c)x²+2x]e^2x
将y*，(y*)′，(y*)″代入原方程，解出a，b，c，则y=(C₁+C₂x)e^2x+x²(ax²+bx+c)e^2x就是原方程的通解。

Answer 3

两边求导数
y'''-4y''+4y'=4e^2x
原式×2
2y''-8y'+8y=4e^2x
两式相减：
y'''-6y''+12y'-8y=0
y是上面这个齐次常微分方程的解，其特征方程：
λ³-6λ²+12λ-8=0
(λ-2)³=0
有三重根λ=2
其通解为y=(ax²+bx+c)e^2x
y'=(2ax+b)e^2x+2(ax²+bx+c)e^2x
=(2ax+b)e^2x+2y
y''=2ae^2x+2(2ax+b)e^2x+2y'
y''-4y'+4y
=2ae^2x+2(2ax+b)e^2x+2y'-2y'-2[(2ax+b)e^2x+2y]+4y
=2ae^2x+2(2ax+b)e^2x-2(2ax+b)e^2x
=2ae^2x=2e^2x
所以，a=1
通解：y=(x²+bx+c)e^2x
b,c为两个常数。