证明加法交换律:任意a,b∈N,总有a+b=b+a
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1871年,德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义,其中加法交换律a+b=b+a是一条公理。因此,如果你说的交换律是指康托尔的实数系统的交换律的话,那么它是不证自明的。
如果用皮亚诺的五条公理则证明如下:
皮亚诺公理用非形式化的方法叙述如下:
Ⅰ 0是自然数;
Ⅱ 每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a' ,a'也是自然数(数a的后继数a'就是紧接在这个数后面的整数(a+1)。例如,1'=2,2'=3等等。)
可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数,因为满足这两条的有可能不是自然数系统。比如考虑由 0, 1 构成的数字系统,其中1的后继为0。这不符合我们对于自然数系统的期望,因为它只包含有限个数。因此,我们要对自然数结构再做一下限制:
Ⅲ 0不是任何自然数的后继数;
但这里面的漏洞防不胜防,此时仍不能排除如下的反例:数字系统 0, 1, 2, 3,其中3的后继是3。看来,我们设置的公理还不够严密。我们还得再加一条。
Ⅳ如果b、c的后继数都是自然数a,那么b = c;
最后,为了排除一些自然数中不应存在的数(如 0.3),同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要,我们加上最后一条公理。
Ⅴ 设S⊆N,且满足2个条件(i)0∈S;(ii)如果n∈S,那么n'∈S。则S是全体自然数的集合,即S=N。(这条公理也叫归纳公理,保证了数学归纳法的正确性)
加法定义:
我们定义,加法是满足以下两种规则的运算:
Ⅰ ∀m∈N,0 +m =m;
Ⅱ ∀m,n∈N,n' +m = (n +m)'。
交换律
现证对任意的自然数n,下述命题为真:
∀自然数m,m+n=n+m。
由上一段知,对n=0命题为真。
假设对命题对n成立,则对n'
m+n'=m+(0+n)'=m+(0'+n)=m+(1+n)=(m+1)+n=m'+n=(m+n)'=(n+m)'=n'+m,命题也对。
由公理Ⅴ,即知交换律成立。
如果用皮亚诺的五条公理则证明如下:
皮亚诺公理用非形式化的方法叙述如下:
Ⅰ 0是自然数;
Ⅱ 每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a' ,a'也是自然数(数a的后继数a'就是紧接在这个数后面的整数(a+1)。例如,1'=2,2'=3等等。)
可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数,因为满足这两条的有可能不是自然数系统。比如考虑由 0, 1 构成的数字系统,其中1的后继为0。这不符合我们对于自然数系统的期望,因为它只包含有限个数。因此,我们要对自然数结构再做一下限制:
Ⅲ 0不是任何自然数的后继数;
但这里面的漏洞防不胜防,此时仍不能排除如下的反例:数字系统 0, 1, 2, 3,其中3的后继是3。看来,我们设置的公理还不够严密。我们还得再加一条。
Ⅳ如果b、c的后继数都是自然数a,那么b = c;
最后,为了排除一些自然数中不应存在的数(如 0.3),同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要,我们加上最后一条公理。
Ⅴ 设S⊆N,且满足2个条件(i)0∈S;(ii)如果n∈S,那么n'∈S。则S是全体自然数的集合,即S=N。(这条公理也叫归纳公理,保证了数学归纳法的正确性)
加法定义:
我们定义,加法是满足以下两种规则的运算:
Ⅰ ∀m∈N,0 +m =m;
Ⅱ ∀m,n∈N,n' +m = (n +m)'。
交换律
现证对任意的自然数n,下述命题为真:
∀自然数m,m+n=n+m。
由上一段知,对n=0命题为真。
假设对命题对n成立,则对n'
m+n'=m+(0+n)'=m+(0'+n)=m+(1+n)=(m+1)+n=m'+n=(m+n)'=(n+m)'=n'+m,命题也对。
由公理Ⅴ,即知交换律成立。
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