Question

高数重积分问题

Answer 1

如图所示：结果是5/3+π/2

其中那个(2-x²)^(3/2)的计算过程如下：采用三角函数换元

这是积分区域分析：

用软件验算过是正确的：

Answer 2

原式=∫(-1,1)dx∫(0,2)√|y-x^2|dy
=∫(-1,1)dx*[∫(0,x^2)√(x^2-y)dy+∫(x^2,2)√(y-x^2)dy]
=∫(-1,1)dx*[(2/3)*(x^2-y)^(3/2)|(x^2,0)+(2/3)*(y-x^2)^(3/2)|(x^2,2)]
=(2/3)*∫(-1,1)[x^3+(2-x^2)^(3/2)]dx
=(4/3)*∫(0,1)(2-x^2)^(3/2)dx
令x=√2*sint，dx=√2*costdt

原式=(16/3)*∫(0,π/4)cos^4tdt
=[(1/6)*sin4x+(4/3)*sin2x+2x]|(0,π/4)

=4/3+π/2