Question

请教一道奥数题?

3467×3467×3467.....3467(m个3467相乘)，3467×3467×3467.....3467(n个3467相乘)，m和n都是正整数,且m>n
当它们的末3位数相同的时候,求m+n的最小值?
据jackztc的推论,我去问过出题人,他说“末3位数相同”应该是:3467^m的末3位与3467^n的末3位相同的意思。即
3467^m-3467^n=###......#000
我用手工算了一下,的确是对的。
因为是"末3位",就用467*467→089,089*467→563......可得到:
089 563 921 107 969 523 ......667共20组数为一节,之后是:
489 363 521 ......可以知后两位开始循环了......
但是如何解题，我无从下手......

Answer 1

^_^看来楼主非要得到这道题目的答案不可，我又去想了想，终于在电脑的帮助下，做出来了，前面部分不变
假定n个3467相乘末三位是abc，
即abc*3467^(m-n)的末三位是abc
首先我们观察，末位数c是不受影像的，一定为7,9,3,1当中的一个，因为3467末位是7,而末位是7的数的n次末尾一定是7,9,3,1,不信你算算，7=7,7*7=49
7*7*7=343,7*7*7*7=2401.
abc的末位c与3467^(m-n)的末位一定为7931中的一个，
那么3467^(m-n)的末位一定是1,因为7931当中的一个数与793当中的一个数乡乘，没一个末位相同的，7*7=63 7*9=63 7*3=21 9*9=81 9*3=27 3*3*=9 1*7=7 1*9=9 1*3=3
于是我们列出竖式乘法,当然假定3467^(m-n)的末三位是xy1
a b c
x y 1
________________
a b c
ay by cy
ax bx cx
________________
a b c
b+cy=b+10d（b+10d表示末位为d的两位数）
cy=10d 因为c是7931中的一个，而右边是10的倍数，那么y只能是10的倍数，而y是一位数，y=0
如果y=0,同理可以得到x=0
既(3467)^(m-n)/1000的余数是1，3467与467关于1000同余

下面部分是新想的，我首先介绍一下二项式定理
（a+b）^n=Cn0a^nb^0+Cn1a^(n-1)b^1+...+Cn(n-1)a^1b^(n-1)+Cnna^0b^n 我解释一下，Cn0表示从n个物体选0个物体的组合方法数，排列组合你应该学过吧，那对C就比较了解。
Cnm=n!/m!(n-m)!
然后解释同余问题
3467^z=(3000+467)^z用二项式定理展开，
可以发现前面的n项，都含有3000这个因数，只有最后一项，是467^z,只要467^z除以1000余1即可。
然后我们步步逼近，
1.首先467^z除以1000余1，那么467^z除以10也余1，根据前文我们分析467^z末尾是3971四个数循环，要使末位是1，必须使z是4的倍数
2.接着467^z除以1000余1，那么467^z除以100也余1，z是4的倍数
令z=4k 467^4k=(##..#21)^k 用#表示的数字不用表示出来，因为我们算的是除以100余1，百位以上的数根据同余的方法可以去掉。
21^k=(20+1)^k用二项式定理展开，可以发现前面的k-1项中，都含有20^2这个因数，必被100整除，而最后一项1^k，就是余数，那么决定百位的Ck(k-1)*20^1*1^(k-1)被100整除，于是Ck(k-1)=Ck1=k一定是5的倍数
3.马上就要大功告成了，最后算467^z除以1000余1，因为k一定是5的倍数,令k=5i 21^(5i)除以1000余1，重复上面的过程，
即21^(5i)=(#..#601)^i除以1000余1,即601^i除以1000余1
601^i=(600+1)^i用二项式定理展开，可以发现前面的i-1项中，都含有600^2这个因数，必被100整除，而最后一项1^i，就是余数，那么决定千位的Ci(i-1)*600^1*1^(i-1)被1000整除，于是Ci(i-1)=Ci1=i一定是5的倍数.
4.z=4k=20i,而i又是5的倍数，那么z一定是100的倍数，z最小为100
于是m-n最小为100

m+n的最小值是100+1+1=102，当n=1,m=101时，满足条件，且m+n最小.^_^
介绍一下我的做题过程，这道题我10月1日拿到的时候，也做了很长时间，但只做了一半，后来，看了楼主的问题补充，于是鼓起勇气算同余问题，先试验了一下，用电脑上的计算器，算得m-n=100时刚好成立，从答案出发，才想到用二项式定理，这道题要求比较搞，特别是同余问题和二项式定理，看来数论确实是数学中最难的！

Answer 2

32＋69＝154

Answer 3

32+69=154?.

Answer 4

楼上的答法不对
4和6的点中有共同的点，那些就只能剪一次，不能算两次了。
4和6的最小公倍数是12，也就是说在12、24、36厘米的这些地方是共同点，只剪一次的。
也可以这样看：把600厘米分成12厘米12厘米的，一共就可以分600÷12＝50截，每截在4、6、8这三点上可剪一次，一截就分成4段了，50截一共就有4X50＝200段。

Answer 5

我来告诉你过程：甲上楼梯的速度是乙的2倍：甲走10级的时间里，乙走了5级，反过来，乙走5级的时间里甲走10级，以相同的比例，乙走1阶的时间是甲走10阶的时间的0.2倍，所以，乙上楼花去的时间是甲的1.2倍。
从一楼到二楼的高度不变，即楼梯阶数不变。当乙走了5阶时，扶梯走的阶数等于甲上楼梯时扶梯走的阶数。在后来的0.2倍时间里扶梯当然还要走几阶。我们对比发现，甲走了10阶，乙走了6阶，乙比甲少走了4阶却同样到了二楼，这4阶是因为扶梯运行的时间不同造成的，乙走了5阶时，扶梯走了阶数与甲上楼时扶梯走的阶数应是相同的，因为时间相同。所以，在后来的0.2倍时间里，扶梯又走了4阶。好了，在甲上楼的时间的0.2倍里扶梯走了4阶，那么，按此比例，在甲上楼的整个过程中，扶梯走了20阶，加上甲走的10阶，合起来就是30阶。
奥数凭的是智力，尽量不设方程式和计算。