Question

设a,b都是可逆矩阵,且a,b相似,则a+at与b+bt相似吗?

设a,b都是可逆矩阵,且a,b相似,则a+at与b+bt相似吗?

Answer 1

相似。

因为A与B有相同的特征多项式，所以A与B有相同的特征根，那么就可以设λ1，λ2，λn为A与B的特征根，由于A与B均为实对称矩阵，则存在正交矩阵X和Y，使X^(-1)AX=【λ1 λ2·····λn】（此为矩阵）=Y^(-1)BY于是YX^(-1)AXY(-1)=B，令T=XY(-1)，所以T(-1)AT=B，所以AB相似。

实对称阵一定相似于由特征值组成的对角阵，所以A与B相似于同一个对角阵，从而 A与B相似。

扩展资料：

设A,B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使P^(-1)AP=B，则称B是A的相似矩阵，并称矩阵A与B相似，记为A~B。

对进行运算称为对进行相似变换，称可逆矩阵为相似变换矩阵。

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。

（1） 求出全部的特征值；

（2）对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；

（3）上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。

参考资料来源：百度百科-相似矩阵

Answer 2

你好！一般来说两者是不相似的，下图就是一个反例。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

Answer 3