积分方程的新面貌
自抽象空间这个概念创立以来，如希尔伯特空间、巴拿赫空间以及算子理论的建立，使古典的积分方程以崭新的面貌出现。例如,把积分方程(3)中出现的函数看作是巴拿赫空间X的元素，原来的积分运算以算子T代替，于是方程(3)就可写为
(8)
这里T是巴拿赫空间X中的一个全连续算子，ψ是X中一个已知元素,而φ是X中的未知元素。方程(8)的齐次方程φ-λTφ=0,若对于某些λ值有不等于零元素的解，则称这些λ值为算子T的点谱, 相应的元素称为特征元素。对于方程(8)也有在巴拿赫空间X中类似的弗雷德霍姆定理。算子T的谱分解是重要的研究课题,J.冯·诺伊曼在这方面有丰硕的研究成果。 积分方程有广泛的应用。微分方程某些定解问题的求解可归结为求解积分方程。例如，为求解常微分方程初值问题,y(x0)=y0,y′(x0)=y1，只要在微分方程两端积分两次,并交换积分次序和利用初始条件,就得到与之等价的沃尔泰拉积分方程
类似地，对于常微分方程的边值问题也可得到与之等价的弗雷德霍姆积分方程。又如，偏微分方程中拉普拉斯方程的狄利克雷问题和诺伊曼问题，可分别利用双层位势和单层位势作为中介而归结为第二种弗雷德霍姆积分方程的求解，而且是等价的。粘性流体力学问题中的维纳- 斯托克斯方程的定解问题也可化为非线性积分方程组。这种利用位势求解微分方程的某些定解问题的方法，已有很多推广，有相当多的一阶或二阶椭圆型方程组的某些边值问题，引进类似于位势的积分算子，往往可归结为弗雷德霍姆积分方程或奇异积分方程。
在地质学中制作地球内部的精细三维图问题。这种图对勘探矿产、预报地震等等都很需要，但不能采用实验的方法来制作，而只能采取间接的方法解决，一般是借助尖端的精密仪器和人造卫星精确地定出地球外部点处的地球引力位势，再利用引力位势的方法归结出关于地球内部密度的第一种弗雷德霍姆积分方程。在空气动力学中研究分子运动，考虑非均匀流体中悬浮晶粒的布朗位移和热扩散，导致了以柯尔莫哥洛夫命名的一类积分方程。在确定飞机机翼的剖面时，需要对环流、升力、阻力等等效应进行计算，也往往导致一个积分方程（如薄翼理论的基本方程、升力线理论的方程等）。其他如中子迁移、电磁波衍射以及经济学与人口理论等都导致奇异积分方程的研究。 中国有不少学者致力于积分方程的理论和应用方面的研究，得到了许多有意义的结果。
