Question

f(x)=(2^x-1)/(2^x+1) (x属于R) （1）判定f(x)奇偶性（2）判定函数f(x)在R上的单调性

Answer 1

f(-x)=(2^-x-1)/(2^-x+1)
上下乘2^x,且2^-x*2^x=1
所以f(-x)=(1-2^x)/(1+2^x)=-f(x)
且定义域是R
关于原点对称
所以是奇函数

f(x)=(2^x+1-2)/(2^x+1)=(2^x+1)/(2^x+1)-2/(2^x+1)=1-2/(2^x+1)
所以单调性和2/((2^x+1))相反
令y=2/(2^x+1)
y'=[0*(2^x+1)-2*(2^x+1)']/(2^x+1)^2
=-2*(2^x*ln2+1)/(2^x+1)^2
ln2>0,2^x>0
所以分子<0,分母>0
所以y'<0
所以y在R是减函数
所以f(x)在R上是增函数

Answer 2

(1)f(-x)=(2^(-x)-1)/(2^（-x）+1)=（1-2^x)/ (2^x+1)=-f（x）
所以此函数是奇函数

(2) f(x)=1-2/(2^x+1)
2^x是增函数，
所以2/(2^x+1)是减函数
所以-2/(2^x+1)是增函数，
所以f(x)是增函数