Question

估计π/4=1–1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...的精度

我们熟知无穷级数1–1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...非常缓慢地收敛于π/4。

记S(k)=1–1/3+1/5-1/7+...+(-1)^(k-1)/(2k-1)；一个简单的估计是
｜π/4 -S(k)｜<1/(2k+1)；
这样，当所要求的精度（比如说）为1/101时，可以知道k=<50，即要达到这个精度至多计算50项……

现在的问题是，至少计算多少项呢？我已经知道1/(2k+1)-1/(2k+3)<｜π/4 -S(k)｜，但是用这个计算的项数的下限不够好，谁能提供一个更好的估计？
务必详细地写出推导过程，如果觉得写在这里太麻烦，可以写成文档发到这个邮箱econotripos@sina.com……我不久会把悬赏提到500

Answer 1

你如果要更好一点的误差下界，那么在余项里两两组合用一下结合律并用广义积分估算一下，可以得到O(1/n)的下界，这样就和误差上界的阶数一致了。
应该说这个问题是没有多少价值的，关键在于这个级数收敛实在太慢，现在已经没人会用这个级数去算pi了，仔细估算误差下界还不如换一个级数来算。

Answer 2

π/4=1–1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+5

Answer 3

π/4=1–1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+5

Answer 4

0.78539816