计算二重积分详细步骤
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二重积分的计算方法
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图为信息科技（深圳）有限公司
2021-01-25 广告
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解：设x=ρcosθ，y=ρsinθ。
∵1≤x+y≤2，∴1/(cosθ+sinθ)≤ρ≤2/(cosθ+sinθ)；又，x>0，y>0，位于第一象限，∴0≤θ≤π/2，即D={(ρ,θ)丨1/(cosθ+sinθ)≤ρ≤2/(cosθ+sinθ)，0≤θ≤π/2}，
∴原式=∫(0,π/2)dθ∫[1/(cosθ+sinθ),2/(cosθ+sinθ)]ρdρ/ρ=∫(0,π/2)dθ/(cosθ-sinθ)。
而cosθ+sinθ=√2cos(θ-π/4)，
∴原式=(1/√2)ln丨sec(θ-π/4)+tan(θ-π/4)丨丨(θ=0,π/2)=(√2)ln(√2+1)。
供参考。
∵1≤x+y≤2，∴1/(cosθ+sinθ)≤ρ≤2/(cosθ+sinθ)；又，x>0，y>0，位于第一象限，∴0≤θ≤π/2，即D={(ρ,θ)丨1/(cosθ+sinθ)≤ρ≤2/(cosθ+sinθ)，0≤θ≤π/2}，
∴原式=∫(0,π/2)dθ∫[1/(cosθ+sinθ),2/(cosθ+sinθ)]ρdρ/ρ=∫(0,π/2)dθ/(cosθ-sinθ)。
而cosθ+sinθ=√2cos(θ-π/4)，
∴原式=(1/√2)ln丨sec(θ-π/4)+tan(θ-π/4)丨丨(θ=0,π/2)=(√2)ln(√2+1)。
供参考。
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