Question

如图所示，P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC。求证：BC⊥AC

Answer 1

过C作CB’⊥PC,交PB于B'
因为平面PAC⊥平面PBC
所以，CB'⊥平面PAC,
所以，CB'⊥PA
而由PA⊥平面ABC，知PA⊥CB
PA与面CBB'不垂直
所以，B、B'重合
即：CB⊥面PAC
所以，CB⊥AC

Answer 2

∵PA⊥平面ABC,
PA∈平面PAC,
∴平面PAC⊥平面ABC,
∵平面PAC⊥平面PBC,
平面PCB∩平面ABC=BC,(两个平面同时与第三个平面垂直,则两个平面交线与第三个平面垂直)
∴BC⊥平面APC,
∵又AC∈平面APC,
∴BC⊥AC,证毕.

Answer 3

PA⊥平面ABC
平面ABC过PA
则平面ABC⊥平面ABC
又平面PAC⊥平面PBC
AC、BC分别为平面ABC和平面PAC、平面PBC的交线
所以AC⊥BC