Question

定积分的应用题关于做功

做出来的答案和教材上的答案不一致，于是来提问

有一横断面为等腰梯形的贮水池，上底6米，下底4米，高2米，水池长8米，把满池的水全部抽到距离水池上方20米的水塔上去，问至少做多少功
保留g，即单位为g*焦

Answer 1

解答：

【积分解法】
以水池底的中心为原点，垂直向上为z轴的正方向，长的方向为x方向，宽的方向为y方向。

在z高度处水的水平横截面积为：
A = 8×宽
其中 宽 = 4 + 2×(z/2) (考虑了相似比)
= 4 + z
A = 8(4 + z)
dz 厚度的水的体积 dV = 8(4 + z)dz
水的密度为 1000 kg/m³
dz 厚度的水的质量 dm = 8000(4 + z)dz
dz 厚度的水的重量 dp = 8000(4 + z)gdz
要将重量为dp的水抽到水塔，至少要克服重力做功：
dw = (20+2-z)×8000(4 + z)gdz
= (22-z)×8000(4 + z)gdz
= 8000(88 + 18z - z²)gdz
总功：
W = ∫8000(88 + 18z - z²)gdz(z:0→2)
= 8000(88z + 9z² - ⅓z³)g(z:0→2)
= 1674666.667g （焦耳）