Question

高数高数高数





Answer 1

1、证明：
∵
y=(1/2)[e^x-e^(-x)]

显然，y>0，于是函数两边同乘e^x，则：
e^(2x)-2y(e^x)-1=0
e^x=[2y±√(4y²+4)]/2 =y±√(y²+1)
又∵
e^x>0
∴
e^x=y-√(y²+1)<0，舍去
∴
x=ln[y+√(y²+1)]
所以：原函数的反函数是
y=ln[x+√(x²+1)]
2.证明：
对于∀ε>0，
|√(n²+1)/n - 1|
=|[√(n²+1) -n]/n |
=|[√(n²+1) -n][√(n²+1) +n]/[√(n²+1) +n]n |
=|1/[√(n²+1) +n]n|
<|1/[√n² +n]n|
=|1/2n²|
＜ε
即：
n²>1/2ε
于是：n>√(1/2ε)
取N=[√(1/2ε)]，当n>N时，
|√(n²+1)/n - 1|<ε恒成立
∴lim(n→∞) √(n²+1)/n =1
3.解：
∵

0.9999(n个9)
=[(10^n)-1]/(10^n)
=1 - [1/(10^n)]
∴
原极限
=lim(n→∞) 1 - [1/(10^n)]
=1