Question

一道线性代数题

如图所示，求证

Answer 1

只做第1题：

令 A = (α,β,γ)是由三个列向量排成的3x3矩阵，
则 V= det(A)，即A的行列式。这可以证明如下：
设β,γ张成的子空间（平面）是∏，将α分解为
α=α1+α2
其中α1垂直于P, α2平行于∏。实际上α2是α在
∏上的投影，而α1=α-α2。
所以α2可以由β,γ线性表出，所以
det(α2,β,γ)=0
所以
det(A) = det(α1,β,γ)+det(α2,β,γ)
= det(α1,β,γ)
显然α,β,γ张成的六面体体积等于
α1,β,γ张成的六面体体积。

继续这个过程，我们可以得到一组新的向量，
α1,β1,γ1
使得他们彼此正交，并且
det(A) = det( α1,β1,γ1 )
而且
V(α,β,γ) = V( α1,β1,γ1 )
显然det( α1,β1,γ1 )=V(α1,β1,γ1 )
所以 det(A) = V(A)

同时注意到 G = A'*A
其中A'是A的共轭转置，所以有
det(G) = det(A)^2= V^2

Answer 2

楼上的证法有点拓补学的味道，好