Question

已知函数f（x）=（x-2）lnx.证明f（x）大于负1

Answer 1

已知函数f（x）=lnx+（x-a）2，a为常数．
（1）若当x=1时，f（x）取得极值，求a的值，并求出f（x）的单调增区间；
（2）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln 2分之e

答案：（1）∵f′(x)=
1
x
+2(x-a)=
2x2-2ax+1
x
，
∵x=1时，f（x）取得极值，f'（1）=0，3-2a=0，a=
3
2
…（2分）
f′(x)=
2x2-3x+1
x
(x＞0)，f'（x）＞0⇔2x2-3x+1＞0（x＞0）x＞1或0＜x＜
1
2
，
f（x）的单调增区间为(0，
1
2
)、（1，+∞）…（4分）
（2））∵f′(x)=
1
x
+2(x-a)=
2x2-2ax+1
x
，令f'（x）=0
则2x2-2ax+1=0在（0，+∞）上有解，但没有等根．△=4a2-8=4（a2-2）
当-
2
＜a＜
2
时，△＜0，则2x2-2ax+1＞0恒成立，即f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值．
当a=
2
时，2x2-2
2
x+1=0，方程的根x0=

2

2
，x∈(0，

2

2
)，x∈(

2

2
，+∞)时，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上无极值．
同理当a=-
2
时，f（x）在（0，+∞）上无极值．
当a＜-
2
或a＞
2
时，△＞0，方程有二个解x1=
a-
a2-2

2
，x2=
a+
a2-2

2
，且x1+x2=a，x1•x2=
1
2

当a＜-
2
时，x1+x2＜0，x1x2＞0，x1，x2均为负根
∴x∈（0，+∞）有f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．∴f（x）无极值点．
当a＞
2
时x1+x2＞0，x1•x2＞0，∴x1•x2∈（0，+∞）

x （0，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）
f（x） + 0 - 0 +
f′（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增
∴f（x）在x1处有极大值，在x2处有极小值．
∴a的取值范围是(
2
，+∞)…（8分）
∵f(x1)+f(x2)=lnx1+lnx2+(x1-a)2+(x2-a)2=lnx1x2+(x12+x22)-2a(x1+x2)+2a2=ln
1
2
+(x12+x22)-2a•a+2a2≥ln
1
2
+2x1x2=ln
1
2
+1=ln
e
2

∵x1≠x2，∴f(x1)+f(x2)＞ln
e
2
…（12分）

试题“已知函数f（x）=lnx+（x-a）2，a为常数．（1）若当x=1时，f（x）取得极值，..”主要考查你对 函数的单调性与导数的关系，函数的极值与导数的关系 等考点的理解。

Answer 2

f(x)=(x-2)lnx (x>0)
0<x≤1时
x-2≤-1,lnx≤0
(x-2)lnx≥0>-1
f(x)>-1 真
1<x≤2时
0≤-(x-2)<1,0<lnx<1
0≤-(x-2)lnx<1
-1<f(x)≤0
f(x)>-1 真
x>2时
0-2>0,lnx>0
(x-2)lnx>0>-1
f(x)>-1 真

所以 f(x)>-1

希望能帮到你！

追问

能不能用函数的思想 求导 最小值

追答

本题不需要。

Answer 3

显然x≥2或x≤1时f(x)≥0,当1<x<2时,0<2-x<1,0<lnx<ln2<1,所以0<(2-x)lnx<1,故f(x)>-1

追问

能不能用函数的方法 求导 求最小值

追答

它又没要你求最小值，这个导数的零点因为存在lnx求解复杂，不如直接用不等式判定，有简单方法的何必去复杂解法舍易求难。