Question

将方程X=tanx的正根按递增次序排列,得数列{Xn},证明级数∑（1/Xn^2）收敛，∑（1/Xn）却发散

将方程X=tanx的正根按递增次序排列,得数列{Xn},证明级数∑（1/Xn^2）收敛，∑（1/Xn）却发散

Answer 1

在nπ-π/2和nπ+π/2之间肯定有且只有一个解。

对于任意一个x[n]在nπ-π/2和nπ+π/2之间
于是nπ<nπ-π/2π<x[n+1]<nπ+π/2<(n+1)π,
1/((n+1)π)<1/x[n]<1/(nπ)
于是①1/((n+1)π)<1/x[n]
调和级数{1/n}是发散的,所以去掉首项后的剩余部分:{1/(n+1)}也是发散的.发散级数乘以非零常数仍然是发散的,于是{1/((n+1)π)}是发散的,{1/x[n]}的每一项都大于{1/((n+1)π)}的对应项,所以{1/x[n]}也是发散的.
②1/x[n]<1/(nπ)
1/x[n]^2<1/(nπ)^2
p级数{1/n^2}是收敛的,于是乘以非零常数1/π^2后,{1/(nπ)^2}也是收敛的,{1/x[n]^2}的每一项都小于{1/(nπ)^2}的对应项,所以{1/x[n]^2}也是收敛的.