Question

高数不定积分求解

Answer 1

x²-4≥0，x²≥4，设x=2secu,x²=4sec²u
dx=2secutanudu
sec²u=1+tan²u，sec²u-1=tan²u
换元得：
∫2tanu.2secutanudu
=4∫secutan²udu
=4∫tanudsecu
=4secutanu-4∫secudtanu
=4secutanu-4∫sec³udu
=4secutanu-4∫secu（1+tan²u）du
=4secutanu-4∫secudu-4∫secutan²udu
∫secudu，用万能置换求解，设t=tan（u/2）
cosu=（1-t²）/（1+t²），u/2=arctant，du/2=1/（1+t²）dt，du=2/（1+t²）dt
∫secudu=∫（1+t²）/（1-t²）.2/（1+t²）dt
=∫2/[（1-t）（1+t）]dt
=∫[1/（1-t）+1/（1+t）]dt
=-ln|1-t|+ln|1+t|
=ln|(1+t)/(1-t)|=ln|(1+tan(u/2))/(1-tan(u/2))|
4∫secutan²udu=4secutanu-4∫secudu-4∫secutan²udu
2∫secutan²udu=secutanu-∫secudu=secutanu-ln|(1+tan(u/2))/(1-tan(u/2))|
∫secutan²udu=(1/2)[secutanu-ln|(1+tan(u/2))/(1-tan(u/2))|]
secu=x/2,tanu=√（sec²u-1）=√（x²/4-1）
(1+tan(u/2))/(1-tan(u/2))
=[cos(u/2)+sin(u/2)]/[cos(u/2)-sin(u/2)]
=[cos²(u/2)+2sin(u/2)cos(u/2)+sin²(u/2)]/[cos²(u/2)-sin²(u/2)]
=（1+sinu）/cosu
=secu+tanu=x/2+√（x²/4-1）
积分=(1/2)[secutanu-ln|(1+tan(u/2))/(1-tan(u/2))|]+C
=(1/2)[(x/2)√（x²/4-1）-ln|x/2+√（x²/4-1）|]+C
=(1/2)[(x/2)√（x²-4）/2-ln|x/2+√（x²-4）/2|]+C
=(1/8)x√（x²-4）-(1/2)ln|x+√（x²-4）|+(1/2)ln2+C
=(1/8)x√（x²-4）-(1/2)ln|x+√（x²-4）|+D