Question

设2a+1，a，2a-1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是？

设2a+1，a，2a-1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是？求详细过程最好写在纸上谢谢。

Answer 1

如果90°＜α＜180°，则cosα＜0，
所以必然有钝角对边的平方大于锐角对边的平方和，
所以（2a+1）²＞a²+（2a-1）²，得到a²-8a＜0，解得0＜a＜8；
或a²＞（2a+1）²+（2a-1）²，得到7a²+2＜0，a无解；
或（2a-1）²＞（2a+1）²+a²，得到a²+8a＜0，解得-8＜a＜0。
又因为三角形三边长度都大于0，所以2a+1＞0，a＞0，2a-1＞0，解得a＞1/2，
综上，a的取值范围是1/2＜a＜8。

Answer 2

2a+1,a,2a-1是钝角三角形的三边
a>0
2a+1<a+2a-1
a>2
a^2+(2a-1)^2<(2a+1)^2
5a^2-4a+1<4a^2+4a+1
a^2-8a<0
a(a-8)<0
0<a<8
所以a的取值范围是2<a<8