Question

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的短轴上、下两端点分别为A,B，O为椭圆圆心

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的短轴上、下两端点分别为A,B，O为椭圆圆心F为右焦点，|OF|=2，向量AF*向量BF=3
（1）过F的直线l与椭圆交于P,Q两点,是否存在l，使op垂直于oq，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由。
（2）在该椭圆上是否存在两点M,N关于过F的直线l对称，若存在，求出l的斜率范围，若不存在，说明理由。

Answer 1

先求方程，c=2，AF=(2,-b)，BF=(2,b)，4-b²=3，b²=1，a²=1+4=5
方程是x²/5+y²=1
(1)假设存在，设PQ:y=k(x-2)，P(x1,y1)、Q(x2,y2)
OP⊥OQ即y1y2/x1x2=-1
与椭圆联立，得
(k²+1/5)x²-4k²x+4k²-1=0
x1x2=(4k²-1)/(k²+1/5)，x1+x2=4k²/(k²+1/5)
y1y2=k²[x1x2-2(x1+x2)+4]=k²(4k²-1/5)/(k²+1/5)
由y1y2/x1x2=-1 解得k=±(1/2)√[(√761±19)/10]
(2)MN的中点在l上，已知长轴为l，MN为通径时就是满足题意的，故存在。
是存在的，而且有一个范围，设l：y=-(x-2)/k，MN:y=kx+b

联立，(k^2+1/5)x^2+2kbx+b^2-1=0
x1+x2=-2kb/(k^2+1/5)
y1+y2=k(x1+x2)+2b=-2k²b/(k^2+1/5) +2b
MN中点（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）在l上，
b/(k^2+1/5)+2/k=-k²b/(k^2+1/5) +b
得b=-(5k²+1)/2k，
又MN与椭圆两交点，Δ>0，
Δ=4k^2b^2-4(k^2+1/5)(b^2-1)>0
解得多少就是多少了。

Answer 2

c=2,
A(0,b),B(0,-b),F(2,0)
AF=(2,-b)
BF=(2,b)
AF.BF=2×2-b²=3
b=1