Question

二重积分的计算题

求∫∫(D）2y dxdy,其中积分区域D由 根号(2-x^2）≤y≤1+根号(1-x^2)所确定

Answer 1

考察函数y = 1+根号(1-x^2)
定义域为[-1,1]，所以积分域x的范围是
[-1,1]
然后积分
∫∫(D）2y dxdy
=∫(-1,1）∫(1+根号(1-x^2),2-x^2)2y dydx
=∫(-1,1）y^2|(2-x^2,1+根号(1-x^2))dx
=∫(-1,1)2-3x^2+x^4-2倍根号(1-x^2)dx
=(2x-x^3+1/5x^5-2arcsinx)|(1,-1)
=12/5 - 2pi

楼上的那个2-x^2忘了平方了
赶紧改改咱对对数

Answer 2

∫∫(D）2y dxdy=∫(-1,1)dx∫2ydy
=∫(-1,1)(1+根号(1-x^2))^2-(2-x^2)dx
=∫(-1,1)2根号(1-x^2)dx=-2∫(0,pi)(sint)^2dt
=∫(0,pi)(cos(2t)-1)dt=-pi

Answer 3

哎，看了这题目我自卑，高数老师就是任务式的教给我们，考试过完也全把它给忘了。

Answer 4

D的区域可进一步化简为圆1：x^+y^≥2的外侧部分与圆2：x^+(y-1)^≤1的内侧部分的公共部分，由图可知此区域为在圆1上方的园2部分，而圆1的极坐标方程为r=√2,圆2的极坐标方程为r=2sinθ,两圆的交点坐标可求出为（1，1）和（-1，1），极坐标表达为（√2，π/4）和（√2，3π/4）由图对二重积分做极坐标变换：
∫∫(D)2ydxdy=∫2sinθdθ(θ下限为π/4,上限为3π/4)*∫r*rdr（r下限是√2，上限是2sinθ）
其中后一项r的积分进一步化简：
∫r^dr（r下限是√2，上限是2sinθ）
=(r^3)/3（r下限是√2，上限是2sinθ）
=8(sinθ^3)/3 -2√2/3
于是原二次积分转化为：
(16/3)*∫(sinθ^4)dθ -(4√2/3)∫sinθdθ (两项中θ都是下限为π/4,上限为3π/4)
重点是前一项的积分，可通过对sin^+cos^=1，sin2x=2sinx*cosx以及cos2x=1-sin^x这三个重要的三角公式对其进行变化，最终可得出前一项的值为π+8/3
后一项更好求了，为-8/3
于是两项和为π