Question

已知sin2α＝根号5／5，sin(β-α)＝根号10／10，且α∈[π／4，π]

β∈[π，3π／2]，求α+β的值，要详细过程

Answer 1

解：∵α∈[π／4，π]
∴2α∈[π／2，2π]
∵sin(2α)=√5/5>0
∴2α∈[π／2，π]..........(1)
==>cos(2α)=-√(1-sin²(2α))=-2√5/5
∵β∈[π，3π／2]，sin(β-α)=√10/10>0
∴β-α∈[π/2，π]..........(2)
==>cos(β-α)=-√(1-sin²(β-α))=-3√10/10
于是，cos(α+β)=cos((β-α)+2α)=cos(β-α)*cos(2α)-sin(β-α)*sin(2α) (和差角公式)
=(-3√10/10)*(-2√5/5)-(√10/10)*(√5/5)=√2/2
∵由(1)和(2)，得 α+β∈[π，2π]
∴α+β=2π-π/4=7π/4。

Answer 2

LV.15
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解：∵α∈[π／4，π]
∴2α∈[π／2，2π]
∵sin(2α)=√5/5>0
∴2α∈[π／2，π]..........(1)
==>cos(2α)=-√(1-sin²(2α))=-2√5/5
∵β∈[π，3π／2]，sin(β-α)=√10/10>0
∴β-α∈[π/2，π]..........(2)
==>cos(β-α)=-√(1-sin²(β-α))=-3√10/10
于是，cos(α+β)=cos((β-α)+2α)=cos(β-α)*cos(2α)-sin(β-α)*sin(2α) (和差角公式)
=(-3√10/10)*(-2√5/5)-(√10/10)*(√5/5)=√2/2
∵由(1)和(2)，得 α+β∈[π，2π]
∴α+β=2π-π/4=7π/4。