Question

已知函数f(x)=lnx-a(x-1)，g(x)=e∧x。（1）求f（x）的单调区间；（2）若函数

已知函数f(x)=lnx-a(x-1)，g(x)=e∧x。（1）求f（x）的单调区间；（2）若函数h（x）=f（x+1）+g（x），当x＞0时，h（x）＞1恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

1. f(x)=lnx-a(x-1) 定义域x>0

   f'(x)=1/x-a

   a≤0时 f'(x)>0 f(x)为增函数 单调递增区间x∈(0,+∞)

   a>0时，驻点x=1/a 左+右- 为极小值点 

   单调递减区间x∈(0,1/a)，单调递增区间x∈(1/a,+∞)

2. h(x)=ln(x+1)-ax+e^x 定义域x>0

   h'(x)=1/(x+1)-a+e^x

   a≤0时 h'(x)>0 h(x)为增函数 单调递增区间x∈(0,+∞) h(x)>h(0)=1 不等式恒成立

   a>0时，令F(x)=1/(x+1)-a+e^x

   F'(x)=-1/(x+1)²+e^x 驻点x=0

   F''(x)=2/(x+1)³+e^x>0→驻点为极小值点 

   ∴当F(0)=1-a+1≥0→a≤2 时h'(x)≥0

   h(x)为增函数 单调递增区间x∈(0,+∞) h(x)>h(0)=1 不等式恒成立

   综上a的取值范围是a∈(-∞,2]