Question

设4阶矩阵A的主对角线上的元素均为1，二其余的元素全为a，且A的秩为3，则a？

求此类解题方法

Answer 1

-1/3

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解法就是用初等变换：
A=
1 a a a
a 1 a a
a a 1 a
a a a 1

第2，3，4行都加到第一行上：
1+3a 1+3a 1+3a 1+3a
a 1 a a
a a 1 a
a a a 1

接下来要分情况了：
（1）如果1+3a=0，即a=-1/3,那么此时矩阵的元素都是确定的数了，矩阵的秩到底是多少能够精确的算出来：
0 0 0 0
-1/3 1 -1/3 -1/3
-1/3 -1/3 1 -1/3
-1/3 -1/3 -1/3 1
继续做初等变换，很容易得到秩为3，符合题意。

（2）如果1+3a不等于0，那么第一行可以同时除以(1+3a)使其变为全1.
注意，只有在1+3a不等于0是才能这么做，因为除数不能为0.
1 1 1 1
a 1 a a
a a 1 a
a a a 1
再2，3，4行减去第一行的a倍：
1 1 1 1
0 1-a 0 0
0 0 1-a 0
0 0 0 1-a

此时再讨论a
如果a=1,那么秩为1
如果a不等于1，那么秩为4，
都不符合情况。

所以本题答案就是a=-1/3

Answer 2

先对矩阵进行初等行变幻，如下：
1 a a a
0 a-1 0 1-a
0 0 a-1 1-a
0 0 0 -3a^2+2a+1
秩等三令最后一行为零可解得a=1和-1/3，1时三行为零，所以舍去