Question

【高中数学】求解第二第三问。

Answer 1

（1）f'(0)=0得b=1;
（2）由（1）得f(x)=(1-ax)ln(x+1)-x，则f'(x)=-aln(x+1)+(1-ax)/(x+1)-1，
所以f''(x)=(-ax-2a-1)/(x+1)^2【高中阶段一般要令g(x)=f'(x)，再求g'(x)】，
下面分类讨论，当0≤x≤1时：
若a≤-1/2，f''(x)≥0恒成立，
则f'(x)在给定区间单调递增，且f'(0)=0，所以f'(x)≥0恒成立，
则f(x)在给定区间单调递增，且f(0)=0，所以f(x)≥0恒成立，
若-1/2＜a＜0，取x0=min｛1，-(2a+1)/a｝,
考虑0≤x≤x0(x0＞0)时，f''(x)≤0，f'(x)单调递减，且f'(0)=0，则f'(x)≤0，
所以f(x)单调递减，f(x0)＜f(0)=0，不符题意，
若a≥0，f(1)=(1-a)ln2-1≤ln2-1＜0，不符题意，
综上，a≤-1/2；
（3）原式取对数得nln(1+1/n)＜1＜(n+1)ln(1+1/n)，
令t=1/n，则原式⇔t/(t+1)＜ln(t+1)＜t，
要证原式，只需证0＜t≤1时，t/(t+1)＜ln(t+1)＜t恒成立，
令g(t)=t-ln(t+1)，(0≤t≤1)，则g'(t)=t/(t+1)≥0，
所以g(t)单调递增，0＜t≤1时，g(t)＞g(0)=0，即t＞ln(t+1)恒成立，
令h(t)=ln(t+1)-t/(t+1)，(0≤t≤1)，则h'(t)=t/(t+1)^2≥0，
所以h(t)单调递增，0＜t≤1时，h(t)＞h(0)=0，即n(t+1)＞t/(t+1)恒成立，
所以0＜t≤1时，t/(t+1)＜ln(t+1)＜t恒成立，原式得证.