Question

关于函数中等价无穷小的基础问题。

关于函数中等价无穷小的基础问题。问题如图第一行。
抱歉我因为以前的高数课基本完全没有听过现在属于自学阶段。
看到这个等价无穷小转换的问题没有搞懂。（e＾x-1）²是可以转换成什么，x²吗，还是2x，因为结果是2，所以变成2x比较合理，但是为什么呢。

Answer 1

lim(x->0) (e^2x-1)/x
令e^2x-1=t
x=1/2ln(1+t)
x->0,t->0
所以
原式=lim(t->0) 2t/ln(1+t)
=lim(t->0)2/ln(1+t)^(1/t)
=2/lne
=2/1
=2
所以
e^2x-1的等价无穷小是2x.

追问

十分感谢。但是最后有点搞不懂，还是想问一下，㏑（1+t）＾1/t为什么会转换成㏑e呢，感谢。

追答

lim(x->0) (1+x)^(1/x)=e 这个是重要极限要记下来的
还有lim(x->+∞)（1+1/x）^x=e

追问

奥，十分感谢😊