Question

x→0时求极限Lim[ √（1+tanx）-√（1+sinx）]/{[x√1+sin²x]-x}

为什么我的做法不对呢，直接等价无穷小之后，剩下两个完全一样的式子，就相当于x-x不是等于零的吗

Answer 1

等价无穷小只能是乘除代换，不能加减代换（除非整体代换）
等价无穷小，不是相等。由麦克劳林公式，tanx=x+o1(x³)，sinx=x+o2(x³)
tanx-sinx=x+o1(x³)-[x+o2(x³)]=o3(x³)，是x³的同阶无穷小，而不是0

Answer 2

β和α等价的充要条件是β=α+o（α），我觉得你这个应该只是必要但不充分，而且对做题来说这种式子有理化比较保险(*^__^*)