Question

证明下列不等式

高等数学 第三节 利用导数分析函数特性

Answer 1

证：
令f(x)=1+xln[x+√(1+x²)]-√(1+x²)，(x≥0)
f'(x)=ln[x+√(1+x²)]
f''(x)=1/√(1+x²)恒>0，f'(x)单调递增
f'(0)=ln[0+√(1+0²)]=0
x≥0时，f'(0)≥0，f(x)是增函数
f(0)=1+0·ln[x+√(1+x²)]-√(1+0²)=0
x>0时，f(x)是增函数，f(x)>f(0)
f(x)>0
1+xln[x+√(1+x²)]>√(1+x²)

追问

谢谢，我懂了，求导比较难

追答

题目还是很简单的，方法很明确。关键是求导，本题的求导并不难，属于比较基础的求导，学过导数的话，这点计算的基本功还是应该具备的。

追问

它是复合函数，容易出错，我只求了一阶导数，就能判断函数的单调性了

追答

嗯，一阶导数判断是可以的。
x>0，x+√(1+x²)>0+√(1+0²)=1
ln[x+√(1+x²)]>0
f'(x)>0，x>0时，f(x)单调递增。

追问

对，就是这样

Answer 2

f（x）=1+xln(x+根号(1+x平方))-根号(1+x平方)
f'(x)=ln(x+根号(1+x平方))+x/根号(1+x平方)-x/根号(1+x平方)
=ln(x+根号(1+x平方))
f''(x)=x/根号(1+x平方)>0
f'(x)单增 ，f'(1)=0
所以 x>0 时 ,f'(x)>f'(0+)=0 f(x)单增
所以f(x)>f(0)=0

追问

谢谢，我懂了，求导比较难