Question

罗素悖论内容是什么以及他的理论对后世数

Answer 1

罗素悖论定义
把所有集合分为2类,第一类中的集合以其自身为元素,第二类中的集合不以自身为元素,假令第一类集合所组成的集合为P,第二类所组成的集合为Q,于是有：
P={A∣A∈A}
Q={A∣A￠A}（￠：不属于的符号,因为实在找不到）
问,Q∈P 还是 Q∈Q?
这就是著名的“罗素悖论”
罗素悖论例子
世界文学名著《唐·吉诃德》中有这样一个故事：
唐·吉诃德的仆人桑乔·潘萨跑到一个小岛上,成了这个岛的国王.他颁布了一条奇怪的法律：每一个到达这个岛的人都必须回答一个问题：“你到这里来做什么?”如果回答对了,就允许他在岛上游玩,而如果答错了,就要把他绞死.对于每一个到岛上来的人,或者是尽兴地玩,或者是被吊上绞架.有多少人敢冒死到这岛上去玩呢?一天,有一个胆大包天的人来了,他照例被问了这个问题,而这个人的回答是：“我到这里来是要被绞死的.”请问桑乔·潘萨是让他在岛上玩,还是把他绞死呢?如果应该让他在岛上游玩,那就与他说“要被绞死”的话不相符合,这就是说,他说“要被绞死”是错话.既然他说错了,就应该被处绞刑.但如果桑乔·潘萨要把他绞死呢?这时他说的“要被绞死”就与事实相符,从而就是对的,既然他答对了,就不该被绞死,而应该让他在岛上玩.小岛的国王发现,他的法律无法执行,因为不管怎么执行,都使法律受到破坏.他思索再三,最后让卫兵把他放了,并且宣布这条法律作废.这又是一条悖论.
由著名数学家伯特兰·罗素（Russel,1872—1970）提出的悖论与之相似：
在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸.
理发师悖论与罗素悖论是等价的：
因为,如果把每个人看成一个集合,这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象.那么,理发师宣称,他的元素,都是村里不属于自身的那些集合,并且村里所有不属于自身的集合都属于他.那么他是否属于他自己?这样就由理发师悖论得到了罗素悖论.反过来的变换也是成立的.