Question

一道关于拉格朗日中值定理的题目

已知f(x)=2/3x^3-2x^2+mx+4,g(x)=e^x-e^(2-x)+f(x),若f(x)在x=1+2^1/2 处取得极值
(1)求m的值和f(x)的单调增区间
(2)利用拉格朗日中值定理证明:函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4
请回答第(2)题
2√e^x*e^(2-x)=2e是什么意思

Answer 1

回答问题之前先说一下，我觉得你的f(x)是不是三分之二乘以x的三次方啊，你的写法是不符合规则的，应该写成2乘以x的三次方只后在除以3，不然按你的是x的三次方在分母上。
先回答第一问，f(x)的导数为f'(x)=2*x*x-4*x+m，而f(x)在取得极值的点就是f'(x)为0的点，带入f'(x)就可以解得m=-2,然后f'(x)>0得区间就是增区间，这道题是负无穷大到一减根号二和一加根号二到正无穷大。
然后说第二问，把m=-2带进去，就可以知道g(x)的表达式了，任意两点的连线斜率不小于2e-4，那么由两点距离无穷小得到任意一点的斜率不小于那个数，也就是证明g'(x)恒大于等于2e-4，你只要算出g'(x)的最小值来跟2e-4比较就可以了

Answer 2

(1)
f'(x)=2x^2-4x+m，则f(1+√2)=2(3+2√2)-4-4√2+m=0，可以求出m=-2。
f'(x)=2x^2-4x-2≤0，所以x≥1+√2或x≤1-√2。
(2)
g(x)=e^x-e^(2-x)+f(x)，g'(x)=e^x+e^(2-x)+2x^2-4x-2。
拉格朗日中值定理为：[g(b)-g(a)]/(b-a)=g'(ξ)
其中等号左边含义即任意两点连线的斜率。
即需要证明g'(x)≥2e-4
e^x+e^(2-x)≥2√e^x*e^(2-x)=2e
2x^2-4x-2≥-4
所以g'(x)≥2e-4
得证

Answer 3

1、f(x)的导数是开口向上的，对称轴是x=-1 ，所以f(x)在x=1+2^1/2 处取得极小值。f`(1+2^1/2 )=0解方程……得m=-10-8*2^1/2
带入f(x)及f`(x)讨论f(x)的单调增区间；
2、只要证明每一点的导数都大于2e-4 不就行了吗。

Answer 4

f'(x)=2x^2-4x+c
因为f(x)在x=1+根号2取得极值
所以f'(1+根号2)=0,得c=-2
由f'(x)>=0可求得
x>=1+根号2或者x<=1-根号2
f(x)的单调递增区间(-00,1-根号2]并上〔1+根号2，+00)