Question

怎样求齐次线性方程组的基础解系？

Answer 1

Ax = 0；

如果A满秩，有唯一解，即零解；

如果A不满秩，就有无数解，要求基础解系；

求基础解系，比如A的秩是m，x是n维向量，就要选取 n-m个向量作为自由变元；

齐次线性方程组的解集的极大线性无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。

基础解系是线性无关的，简单的理解就是能够用它的线性组合表示出该方程组的任意一组解，是针对有无数多组解的方程而言的。

扩展资料：

如果m<n(行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。

设其系数矩阵为A，未知项为X，则其矩阵形式为AX=0。若设其系数矩阵经过初等行变换所化到的行阶梯形矩阵的非零行行数为r。

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

参考资料来源：百度百科--齐次线性方程组

Answer 2

1. Ax = 0;
   

   如果A满秩，有唯一解，即零解；

   如果A不满秩，就有无数解，要求基础解系；

   求基础解系，比如A的秩是m，x是n维向量，就要选取 n-m个向量作为自由变元；

2. 齐次线性方程组的解集的极大线性无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。

3. 基础解系是线性无关的，简单的理解就是能够用它的线性组合表示出该方程组的任意一组解，是针对有无数多组解的方程而言的。

4. 基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异，但不同的基础解系之间必定对应着某种线性关系。

5. 基础解系是针对有无数多组解的方程而言，若是齐次线性方程组则应是有效方程的个数少于未知数的个数，若非齐次则应是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且都小于未知数的个数。

6. 齐次线性方程组：常数项全部为零的线性方程组。

7. 齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解.

8. 齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解.

9. 齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解.

10. 齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解.

11. n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零.

Answer 3

写出系数矩阵为
1 -2 4 -7
2 1 -2 1
3 -1 2 -4 r2-2r1，r3-3r1
~
1 -2 4 -7
0 5 -10 15
0 5 -10 17 r3-r2，r2/5
~
1 -2 4 -7
0 1 -2 3
0 0 0 1 r1+2r2，r1+r3，r2-3r3
~
1 0 0 0
0 1 -2 0
0 0 0 1
4个未知数，秩r=3
有4-3=1个解向量
于是得到基础解系为
c(0，2，1，0)^T，c为常数