Question

微分方程（x^2+1）dy/dx+2xy=4x^2的通解是

Answer 1

求微分方程（x²+1)dy/dx+2xy=4x²的通解
先求齐次方程 （x²+1)dy/dx+2xy=0的通解：
分离变量得：dy/y=-[2x/(x²+1)]dx;
积分之得：lny=-∫[2x/(x²+1)]dx=-∫d(x²+1)/(x²+1)=-ln(x²+1)+lnc₁=ln[c₁/(x²+1)]
∴齐次方程的通解为：y=c₁/(x²+1); 将c₁换成x的函数u; 则有y=u/(x²+1)..........①
对①取导数得：y'=[(x²+1)u'-2xu]/(x²+1)²........②
将①②代入原式得：[(x²+1)u'-2xu]/(x²+1)+2xu/(x²+1)=4x²；
化简得：u'=4x²；即du=4x²dx；∴u=∫4x²dx=(4/3)x³+c；
代入①式即得原方程的通解：y=[(4/3)x³+c]/(x²+1)=(4x³+3c)/[3(x²+1)]；
故应选D。