Question

如图，右边一个不等号是什么不等式，怎样证明

Answer 1

由基本不等式得
a²+b²≥2ab ①
b²+c²≥2bc ②
c²+a²≥2ca ③
①+②+③，得
2(a²+b²+c²)≥2(ab+bc+ca) ④
3(a²+b²+c²)≥a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)
3(a²+b²+c²)≥(a+b+c)²
由④得a²+b²+c²≥ab+bc+ca
a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca)
(a+b+c)²≥3(ab+bc+ca)
综上，得3(a²+b²+c²)≥(a+b+c)²≥3(ab+bc+ca)

Answer 2

(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
∴(a+b+c)²-3(ab+bc+ac)=a²+b²+c²-ab-bc-ac=1/2*[(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²]≥0
∴(a+b+c)²≥3(ab+bc+ca)