Question

求解数列题

数列An,Bn的前项和分别是Sn,Tn，且Sn/Tn＝(7n+2)/(n+3)，问：A8/B8＝?
设sn=（7n+2）k（k≠0）
则sn-s（n-1）=an=（7n+2）k-（7（n-1）+2）k=7k
Bn=（n+3）k-(n-1+3)k=1k
A8/B8=7k/k=7
我也是这样算的，可是题目给出的答案是：107÷18

Answer 1

其实你的解答和所谓的答案都是有问题的。听我慢慢分析：

我先构造一个反例来说明所谓的答案是错的：

反例1：
An：9 7 7 7 7 7 7 7 ......
Bn: 4 1 1 1 1 1 1 1 ......
这两个数列的前n项和Sn和Tn就是7n+2和n+3,那么它们的比值当然是(7n+2)/(n+3)。这情况的A8/B8就是7,跟你算出来的一样，说明答案是有问题的。

但是不要以为你算对了！

反例2：
我先构造两个数列的前7项，和上面一样，第8项先留着，表示为A8和B8
An：9 7 7 7 7 7 7 A8 ......
Bn: 4 1 1 1 1 1 1 B8 ......

很显然，前7项之和的比都是满足Sn/Tn＝(7n+2)/(n+3)的，我现在让前8项的和也满足这个式子。
S8=51+A8,T8=10+B8
S8/T8=(7*8+2)/(8+3)=58/11
得到11A8-58B8=19
所以只要满足这个式子的A8和B8就行了。
如果取A8=7,B8=1,就是反例1的情况，表面看来你做的是对的。
但是如果取A8=135/11,B8=2,也是符合的啊，此时的A8/B8就不是7了啊。

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所以本题题目是有问题的。我可以构造出无数个反例来说明答案不存在。构造的方法就是逐项构造，比如在确定A8=135/11,B8=2之后，我要确定A9和B9，它们还是满足一个等式，有无穷多组解，我还是任取一组解作为A9和B9，在此基础上去递推A10和B10。如此递推下去。。。

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你可能要问：“那你的解法错在哪里呢？”

听我分析：
Sn=（7n+2）k
Tn=（n+3）k
这么设是没问题的。
但是！！！
S（n-1）=（7（n-1）+2）k
T（n-1）=（（n-1）+3）k
这就有问题了。虽然它们的比值是满足题目的，但绝那个比例的缩放倍数，你不能延用Sn和Tn里面的k。

应该是：
Sn=（7n+2）k1
Tn=（n+3）k1

S（n-1）=（7（n-1）+2）k2
T（n-1）=（（n-1）+3）k2

仔细体会一下，有问题Hi我。

Answer 2

设sn=（7n+2）k（k≠0）
则sn-s（n-1）=an=（7n+2）k-（7（n-1）+2）k=7k
Bn=（n+3）k-(n-1+3)k=1k
A8/B8=7k/k=7

算错了明天再来

Answer 3

因为Sn=4an-3
(1)
所以Sn+1=4a(n+1)-3
(2)
(2)-(1)得：a(n+1)=4a(n+1)-4an
a(n+1)/an=4/3
因为(1)可得a1=S1=4a1-3
所以a1=1
an=(4/3)的n-1次方，
所以数列{an}是以1为首项，公比为4/3的等比数列