Question

如图，一道已知数列的递推公式求通项公式的问题，要具体原因和过程，谢大神

Answer 1

提供一种直观的解答方法，供参考：
为了更清晰，将an书写为An, 将a(n+1)书写为A(n+1)
A(n+1)=An²-nAn+1
那么，A(n+1)-An=(An²-nAn+1)-An
即：A(n+1)-An=An[An-(n+1)]+1
观察此式，如果中括号里的值为0，则此式恒成立
即：An-(n+1)=0，也就是须，An=n+1
数组首项A1=2，正好满足该通式，说明通项公式An=n+1成立。

追问

没有更好的办法了么

Answer 2

a1=2
a2=a1²-a1+1=2²-1x2+1=4-2+1=2+1=3
a3=3²-2x3+1=3(3-2)+1=3+1=4
a4=4²-3x4+1=4+1=5
由上，猜想an=n+1，现用数学归纳法证明
n=1,2,3,4时，通项an=n+1成立：
设n=k时，成立，即ak=k+1
n=k+1时
a(k+1)=(k+1)²-k(k+1)+1=(k+1)(k+1-k)+1=(k+1)+1，成立。
故当an的通项公式是：an=n+1