Question

定积分求导?

函数x=∫（0，y）(a^2*(sint)^2+b^2*(cost)^2)^0.5 dt .
函数F=y，函数F对x求导，应该怎么做。

Answer 1

你的题讲的不清不楚，F对x求导，是F'(x)吗？如果是这样的话，就是求
x=∫（0，y）(a^2*(sint)^2+b^2*(cost)^2)^0.5 dt .的反函数的导数了。
因为x对y求导，得a^2*(siny)^2+b^2*(cosy)^2)^0.5.
所以y对x求导就得到它的倒数.

追问

y'是等于什么？a^2*(siny)^2+b^2*(cosy)^2)^0.5这个吗

追答

这个的倒数，并把里面的y改成x.

追问

不好意思还想问一下，把y改成x,意思是把a^2*(siny)^2+b^2*(cosy)^2)^0.5其中的y换成y关于x的表达式，还是直接把字母y变成x

追答

直接换.

追问

但是我举个例子感觉有问题，假设x=∫（0，y）tdt，x'=y按照上面的思路y'=1/x.
但是x=0.5*y^2，那么原函数y=（2*x）^0.5，y'=1/(2*x)^0.5.

追答

那是你没代好吧。

x'=dx/dy=1/(dy/dx)=1/y'. 这是反函数的求导公式，不会错的。

应该是下图这样，y不能改过来，如果要改，就得代入y=f(x)的式子，但你这题得不出y=f(x)的式子。我上面说的，是一般解题的情况，有时就有把x改成y,y改成x的情况，那是变量变换，只是为了看起来习惯，不改变函数的实质.

Answer 2

（个人愚见，希望能对你有所帮助）这里y是x的函数，不妨将y视为φ（x），然后方程两边同时对x进行求导，注意变限积分中复合函数作为上下限时的求导规则即可。

Answer 3

Answer 4

应为
f'(x)=[x∫[0,x]g(u)du+(x^2/2)g(x)]-[∫[0,x]ug(u)du
+xxg(x)]+(1/2)x^2g(x)=x∫[0,x]g(u)du-∫[0,x]ug(u)du
f''(x)=[∫[0,x]g(u)du
+xg(x)]-xg(x)=∫[0,x]g(u)du
f'''(x)=g(x)
含有x的项和积分限上有x都应看成是x的函数，两个含x的函数的乘积要用乘积求导公式。你的问题是没有注意到前面两个导数的求解后有抵消的部分，从而导致有错误的理解