Question

求证：方程x的四次方+y的四次方=z的平方 没有正整数解

Answer 1

若(x^2)^2+(y^2)^2=z^2无解，则(x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2也无解。所以只需证明(x^2)^2+(y^2)^2=z^2无整数解即可。
假设
(x,y,z)为方程(x^2)^2+(y^2)^2=z^2一个解并且x,y互质,y为偶数，则
x^2=a^2-b^2;y^2=2ab;z=a^2+b^2，其中a>b>0,a，b互质，a、b
的奇偶性相反。
由x^2=a^2-b^2得a必定是奇数，b必定是偶数。
另外，亦得x^2+
b^2=a^2，再从此得x=c^2-d^2;b=2cd;a=c^2+d^2，其中c>d>0，c,d互质，c、d的奇偶性相反。
因而y^2=2ab=4cd(c^2
+
d^2)，
由此得c、d和c^2+d^2为平方数。
于是可设c=e^2;d=f^2;c^2+d^2=g^2,即e^4+f^4=g^2。
换句话说，(e,f,g)为方程x^4+^y^4=z^2的另外一个解。
但是，z=a^2+b^2=(c^2+d^2)^2+4c^2d^2>g^4>g>0。
就是说如果我们从一个z值出发，必定可以找到一个更小的数值
g,使它仍然满足方程x^4+y^4=z^2。如此类推，我们可以找到一个比g更小的数值，同时满足上式。
但是，这是不可能的！因为z为一有限值，这个数值不能无穷地递降下去！由此可知我们最初的假设不正确。所以，方程x^4+y^4=z^2没有正整数解
则方程：x^4+y^4=z^4无也就无整数解！

Answer 2

因为x得四次方可以看作X平方的平方，同理Y的四次方可以看作Y的平方的平方，即(X^2^2+Y^2^2+2X^2Y^2)=(X^2+Y^2)^2因为2X^2Y^2不等于0所以X^4+Y^4不等Z^2因此无正整数解