Question

设平面图形D由x²+y²＜＝2x与y＞＝x围成，求D 绕直线x=2旋转一周所得的体积？

Answer 1

D 绕直线x=2旋转一周所得的体积等于π(π/2-2/3)。

解：根据题意可得，体积V=π∫(0,1)[2-y^2+2√(1-y^2)-(4-4y+y^2)]dy

=π∫(0,1)[-2+4y-2y^2+2√(1-y^2)]dy

=π[-2y+2y^2-(2/3)y^3+y√(1-y^2)+arcsiny]|(0,1)

=π(π/2-2/3)。

即D 绕直线x=2旋转一周所得的体积等于π(π/2-2/3)。

Answer 2

所求体积=π∫<0,1>{[1+√(1-y^2)]^2-(2-y)^2}dy
=π∫<0,1>[2-y^2+2√(1-y^2)-(4-4y+y^2)]dy
=π∫<0,1>[-2+4y-2y^2+2√(1-y^2)]dy
=π[-2y+2y^2-(2/3)y^3+y√(1-y^2)+arcsiny]|<0,1>
=π(π/2-2/3).

追问

您好！想问一下这里1+√(1-y^2)]^2 为何是+1，而非-1，根据所围图形，x在0到1之间，故感觉 应该是-1的样子鸭～～

追答

因为y>=x.
D是圆:(x-1)^2+y^2=1在直线y=x上方的弓形，x=1-√(1-y^2).