Question

一道高中的立体几何题？

高中数学立体几何

Answer 1

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欢迎追问，追问则继续，否则到此为止。

Answer 2

图画得不太好看，希望包涵，重点在思路。

Answer 3

（注：不需用到的线将不在图中画出，使得图形简洁易看）

（1）、如图所示，取CD的中点E，连接QE、LE。

因为在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中点Q，E分别为C₁D₁，CD的中点，

易知QE⊥平面ABCD，而AC在平面ABCD中，所以QE⊥AC，

又因为在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中四边形ABCD为正方形，

且AC为对角线，点L，E分别为BC，CD的中点，易知AC⊥LE，

而QE、LE均在平面QEL内切相交于点E，所以AC⊥平面QEL，

QL在平面QEL上，所以有AC⊥QL。

（2）、如图所示，取AB的中点F，连接PD、DF、LF。

因为在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中点F，P，Q，L分别为AB，A₁D₁，C₁D₁，BC的中点，

易知PQ平行且等于FL，即四边形FPQL为平行四边形，

又因为PL为平行四边形FPQL的对角线，所以△PFL的面积=△PQL的面积，

则在四棱锥D-FPQL中可知四面体DPFL和四面体DPQL是等底等高的，体积相等，

在正方形ABCD中算得△DFL的面积为3a²/8，

所以四面体DPFL的体积为△DFL的面积×AA₁×1/3=a³/8，

所以四面体DPQL的体积也为a³/8。

Answer 4

构造直角三角形

第二问主要是找到L-PQ-D的二面角，利用二面角求解点到面的距离，中间省略了一些我认为比较简单的过程。

如果空间想象能力不足时，建议直接构建空间之间坐标系，计算两个面的法向量，求二面角，再利用二面角求解点到面的距离，距离公式为：

d=目标点到二面角的楞的距离*二面角正弦值

Answer 5

第一问：建立空间坐标系很容易的，特别是这种规则的正方体，分别列出两条直线的向量，易得向量积为0，所以两直线垂直。
第二问：直接处理较为困难，所以我建议你从割补法入手，观察整个图形进行切割，这样比较好处理