Question

过抛物线Y2=4X的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，则1/AF+1/BF=?

Answer 1

易知F坐标（1，0）准线方程为x=-1.
设过F点直线方程为y=k(x-1)
代入抛物线方程，得
k^2(x-1)^2=4x.
化简后为：
k^2*x^2-(2k^2+4)x+k^2=0.
此方程的两个解为x1,x2.
x1=[2k^2+4+4√(k^2+1)]/(2k^2)
x2=[2k^2+4-4√(k^2+1)]/(2k^2),
令AF=x1+1，BF=x2+1.(到准线的距离等于到焦点的距离）
AF=[4k^2+4+4√(k^2+1)]/(2k^2)
BF==[4k^2+4-4√(k^2+1)]/(2k^2)
令k^2+1=a.则
AF=
[4a+4√a]/(2k^2)
BF=
[4a-4√a]/(2k^2)
这样易得
1/AF+1/BF=k^2/2
*
[1/(a+√a)+1/(a-√a)]
=k^2/2
*
[2/(a-1)]
=k^2/2
*
[2/(k^2)]
=1
也许有更简单的办法，但是我想不出来了。可能用参数法，或极坐标法会简单些。你如果琢磨出来了，记得告我啊。呵呵。

Answer 2

分析：抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的．已知|af|=2，则到准线的距离也为2，根据图形afka1是正方形．
则易得ab⊥x轴，即可得答案．

解：由抛物线的定义．抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的．
已知|af|=2，则到准线的距离也为2．根据图形afka1，是正方形．
可知|af|=|aa1|=|kf|=2∴ab⊥x轴故|af|=|bf|=2．
故填|bf|=2．

点评：活用圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线最基本的方法．到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化到准线的距离求解．