Question

求幂级函数……和函数

（－1）＾n-1 n＾2 x＾n的和函数

Answer 1

设和函数为S(x),容易判断收敛域为(-1,1)
当x≠0时,

S(x)/x=1*1x^0-2*2x+3*3x²-4*4x³+...
=(1x-2x²+3x³-4x^4+...)'
又设1x-2x²+3x³-4x^4+...=T(x)
则T(x)/x=1-2x+3x²-4x³+...
=(x-x²+x³-x^4+...)'
=-(-1+1-x+x²-x³+...)'
=-[-1+1/(1+x)]'
=1/(1+x)²
所以T(x)=x/(1+x)²
所以S(x)/x=T'(x)=[(1+x)²-2x(1+x)]/(1+x)^4=(1-x)/(1+x)³
S(x)=x(1-x)/(1+x)³
当x=0时原级数为0,同样满足S(x)的表达式
所以S(x)=x(1-x)/(1+x)³

Answer 2

明显 - 1＜x＜1，作变量代换 y＝ - x，
则∑(-1)ⁿ-¹n²xⁿ
＝ - ∑n²yⁿ
＝ - y(∑nyⁿ)'
＝ - y(y(∑yⁿ)')'
＝ - y(y[y/(1 - y)]')'
＝ - y[y / (1-y)²]'
＝ y(y＋1) / (y - 1)³
＝ x(1 - x) / (1＋x)³