Question

数列an=（1-1/n）^n的极限？

Answer 1

刚好在复习高等数学，刚复习到极限就看到了这道题。看到这道题我是很兴奋的，因为刚刚复习完极限的定义。然后，我花了3小时拼命的证明，我发现还是很困难的，无论是用几何不等式将a^n/n!放缩<（a/n*(1+1/2+1/3+……+1/n))^n还是用数形结合的方法将其变成n*ln(a)<ln(n!)+ln(ε）（当ε取得比较小时，ln(ε）是负数，不能直接忽略）之后ln(n!)+ln(ε）放缩成>n*ln(n)-n+1+ln(ε）都处理不出来（n与a,ε的关系太复杂了）。
但是，我一直记得大一明明接触过这个式子，就没有放弃。终于在无穷级数那里找到了证明方法，用达朗贝尔（比值）判别法知道级数∑a^n/n!是收敛的，自然，极限lim(n→∞）a^n/n!=0。
我想了好久，非得用极限的定义来证明这个式子的话，我的确不会。但是我能够用无穷级数轻松的证明出来。与其那么好用的定理不用，非得跑到最原始的状态寻找答案，我还是愿意选择牛顿的道路——站在巨人的肩膀上

Answer 2

（n→+∞）lim(1-1/n)^n = 1/e

Answer 3

lim<n→∞>(1-1/n)^n = lim<n→∞>[(1-1/n)^(-n)]^(-1) = e^(-1) = 1/e