Question

请问一道高数证明题？

Answer 1

考虑两个函数g(x)=f(x)e^x和h(x)=e^(3x)/[e^(2a)+e^(a+b)+e^(2b)]
这里g'(x)=[f(x)+f'(x)]e^x，h'(x)=3e^(3x)/[e^(2a)+e^(a+b)+e^(2b)]
因为f(x)在[a,b]上连续，(a,b)上可导
所以g(x也)在[a,b]上连续，(a,b)上可导
所以存在ξ∈(a,b)使得
g(a)-g(b)=(a-b)g'(ξ)
e^a-e^b=(a-b)[f(ξ)+f'(ξ)]e^ξ
(e^a-e^b)/(a-b)=[f(ξ)+f'(ξ)]e^ξ···················(1)

因为h(x)在[a,b]上连续，(a,b)上可导
所以存在η∈(a,b)使得
h(a)-h(b)=(a-b)h'(η)
(e^a-e^b)/(a-b)=3e^(3η)/[e^(2a)+e^(a+b)+e^(2b)]··················(2)
由(1),(2)整理得到答案。
注：
利用立方差公式
e^(3a)-e^(3b)=(e^a-e^b)[e^(2a)+e^(a+b)+e^(2b)]
所以
h(a)-h(b)=(e^a-e^b)/(a-b)

Answer 2

详情下图，希望对你有帮助。