Question

设P是△ABC内一点，AP, BP,CP的延长线分别与对边交于点D,E,F ？

设P是△ABC内一点，AP, BP,CP的延长线分别与对边交于点D,E,F . 求证: S△DEF≤1/4S△ABC.

Answer 1

仿射变换下面积比不变，所以可把△ABC变为等腰直角三角形。
作AO⊥BC于O,分别以OC,OA为x,y轴，建立直角坐标系，设B(-1,0),C(1,0),A(0,1),
则△ABC的面积=1.
AB:y=x+1,AC:x+y=1,
设D(d,0),E(e,1-e),F(f-1,f),-1<d<1,0<=e<1,
AP, BP,CP的延长线分别与对边交于点D,E,F，由塞瓦定理，
BD/DC*CE/EA*AF/FB=1,
即(d+1)/(1-d)*(1-e)/e*(1-f)/f=1,
(d+1)(1-e)(1-f)=(1-d)ef,
(1+d-2de)f=(d+1)(1-e),
f=(d+1)(1-e)/(1+d-2de),
△DEF的面积S=(1/2)乘以3阶行列式
d 0 1
e 1-e 1
f-1 f 1
=(1/2)[d(1-e-f)+ef-(1-e)(f-1)](按第一行展开)
=(1/2)[(2e-d-1)f+(d+1)(1-e)]
=(1-d^2)e(1-e)/(1+d-2de),
∂S/∂d=e(1-e)[-2d(1+e-2de)-(1-2e)(1-d^2)]/(1+d-2de)^2
=e(1-e)(-1-2d+2e+d^2-2de+2d^2e)/(1+d-2de)^2=0,
-1+2e-2d(1+e)+d^2(1+2e)=0,①
∂S/∂e=(1-d^2)[(1-2e)(1+e-2de)+2de(1-e)]/(1+d-2de)^2=0,
1-e-2e^2+2de^2=0,
d=(2e-1)(e+1)/(2e^2).②
把②代入①*4e^4，得(2e-1)[4e^4-4e^2(1+e)^2+(1+e)^2(4e^2-1)]=0,
解得e=1/2,或4e^4-(1+e)^2=0,
后者变为2e^2-e-1=0,
即(e-1)(2e+1)=0,在[0,1)内无解。
把e=1/2代入②，得d=0.
此时，S=1/4,为最大，所以命题成立。