Question

初等数论问题：设n是整数，证明3|n（n+1）(n+2) 怎么证明？

Answer 1

证明：
设k为整数，n一定可以表示为 n=3k or 3k+1 or 3k+2，其中的一种形式。
若n=3k， n(n+1)(n+2)=3k(3k+1)(3k+2)=3[k(3k+1)(3k+2)]，被3整除；
若n=3k+1，n(n+1)(n+2)=(3k+1)(3k+2)(3k+3)=3[(3k+1)(3k+2)(k+1)]，被3整除；
若n=3k+2, n(n+1)(n+2)=(3k+2)(3k+3)(3k+4)=3[(3k+2)(k+1)(3k+4)]，被3整除；
综上，n(n+1)(n+2)总是能被3整除。
因此, 3|n(n+1)(n+2).
以上，请采纳。

Answer 2

连续的自然数, 无论从哪一个开始, 每3个数一组中就有1个3的倍数. 显然n(n+1)(n+2)是3个连续自然数, 所以必有1个数是3的倍数, 可以是n, n+1, 或n+2, 那么这样的3倍的整除关系, 可以从其中任何一个数比如n, 传递到三数积n(n+1)(n+2). 按这两个关键知识点, 我们可以简化为“任意自然数, 按除以3的余数情况, 分为3k型, 3k+1型, 和3k+2型, 其中k是自然数(包含0)”, “若3|n, 则3|n(n+1)(n+2)”
证, 令k是自然数(包含0)
1) 当n=3k时, 则3|n, 3|n(n+1)(n+2)
2) 当n=3k+1时, 则3|n+2, 3|n(n+1)(n+2)
3) 当n=3k+2时, 则3|n+1, 3|n(n+1)(n+2)
综上, n是整数, 3|n(n+1)(n+2)
证毕