Question

高数微积分

8题、9题

Answer 1

第8题（限于输入方式，求极限的过程简写了）
根据函数连续的定义，那么左极限等于右极限（x→0）：左极限＝b＝右极限＝e^0=1
根据函数可导的定义，那么左导数等于右导数：a=-e^0=-1
第9题（该题为∞-∞型极限，先通分整理成0/0型，再套用洛必达法则）
通分整理得到：
分子＝exp(x)-sinx-1【exp(x)表示以e为底的指数函数】
分母=[exp(x)-1]sinx
套用洛必达法则，分子分母对x求导，得到：
分子'=exp(x)-cosx
分母'=exp(x)sinx+[exp(x)-1]cosx
注意在x→0时上述极限仍为0/0型，继续应用洛必达法则：
分子"=exp(x)+sin(x)
分母"=exp(x)sinx+exp(x)cosx+exp(x)cosx-[exp(x)-1]sinx=2exp(x)cosx+sinx
在x→0时，分子"=1，分母"=2，得到结果：1/2

Answer 2

8. fx在0处=1，所以b=1，fx的导数在0处=-1，所以a=-1
9.lim（1/sinx-1/(exp-1)）
=lim(exp-1-sinx)/sinx(exp-1)
洛必达定理=lim（exp-cosx）/(sinxexp+cosx(exp-1))
继续洛=lim（exp+sinx）/2expcosx
=1/2

Answer 3

Answer 4

f(0-)=f(0) = lim(x->0) (ax +b) =b

f(0+) = lim(x->0) e^(-x) = 1

=> b=1

f'(0-)

=lim(h->0) [ah+1 -f(0) ]/h

=a

f'(0+)

=lim(h->0) [e^h -f(0) ]/h

=1

=> a=1

ie (a,b) = (1,1)

(2)

x->0

e^x = 1+x +(1/2)x^2 +o(x^2)

e^x - 1- sinx = (1/2)x^2 +o(x^2)

lim(x->0) [ 1/sinx - 1/(e^x -1)]

=lim(x->0) ( e^x -1-sinx) /[sinx. (e^x -1)]

=lim(x->0) ( e^x -1-sinx) /x^2

=lim(x->0) (1/2)x^2 /x^2

=1/2