Question

大佬，这道题咋做啊，万分感谢！！！

Answer 1

解：∵(1/π)∫<0,π>e^x•cos(nx)dx=(1/π)[(-1)ⁿ•e^π-1+n∫<0,π>e^x•sin(nx)dx] (应用分部积分法)
==> (1/π)∫<0,π>e^x•cos(nx)dx=(1/π)[(-1)ⁿ•e^π-1+n((-n)∫<0,π>e^x•cos(nx)dx)] (应用分部积分法)
==> (1/π)∫<0,π>e^x•cos(nx)dx=[(-1)ⁿ•e^π-1]/π-(n²/π)∫<0,π>e^x•cos(nx)dx
==>(1/π)∫<0,π>e^x•cos(nx)dx+(n²/π)∫<0,π>e^x•cos(nx)dx=[(-1)ⁿ•e^π-1]/π (移项)
==> [(1/π)+(n²/π)]∫<0,π>e^x•cos(nx)dx=[(-1)ⁿ•e^π-1]/π
==> (1+n²)•(1/π)∫<0,π>e^x•cos(nx)dx=[(-1)ⁿ•e^π-1]/π
==>(1/π)∫<0,π>e^x•cos(nx)dx=[(-1)ⁿ•e^π-1]/[π(1+n²)]
∴(1/π)∫<0,π>e^x•cos(nx)dx=[(-1)ⁿ•e^π-1]/[π(1+n²)]

Answer 2

假设原函数F(x)=[asin(nx)+bcos(nx)]e^x，
则F'(x)=[asin(nx)+bcos(nx)-nbsin(nx)+nacos(nx)]e^x]e^x
=[(a-nb)sin(nx)+(b+na)cos(nx)]e^x=cos(nx)e^x，
所以a=nb，b+na=1=b(1+n^2)，
则b=1/(1+n^2)，a=nb=n/(1+n^2)。